Relações úteis entre algumas distribuições estatísticas

Data de modificação: 2008-10-23.
Data de criação: 2003-12-03.

Palavras-chave: Distribuição Beta, Distribuição Gama, Distribuição Normal, Distribuição Exponencial, Distribuição t-Student.
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  1. Soma do quadrado de normais. Sejam X1,…,Xn v.a. independentes tais que Xi ~ N(μi,σi2),i = 1,…,n, então
    ∑n (X - μ )2 --i---i ~ χ2(n) i=1 σi

  2. Multiplicando uma Gama por uma constante. Se X ~ Gama(r,λ) então αX ~ Gama(r,λ∕α).
  3. Transformação de uma Gama em uma Qui-quadrado. Do item anterior decorre que se X ~ Gama(r,λ), então
    ( 2r 1) 2λX ~ Gama --,- =dχ2(2r) 2 2

  4. Soma de Gamas. Sejam X1,…,Xn v.a. independentes tais que Xi ~ Gama(ri,λ), então
    (∑n ) X1 +...+ Xn ~ Gama ri,λ i=1

  5. Quociente de Gamas. Sejam X ~ Gama(a,b) e Y ~ Gama(c,b) independentes, então
    --X--- ~ Beta(a,c) X + Y

  6. Quociente de Qui-quadrados. Sejam X e Y v.a. independentes tais que Y ~ χ(m)2 e X ~ χ(n)2, então
    Z = Y∕m- ~ F(m,n) X ∕n

  7. Quociente de Normal por Qui-Quadrado (distribuição t). Sejam Z ~ N(0,1) e X ~ χ(n)2, Z e X independentes, então
    T = ∘--Z-- ~ tn X ∕n

  8. Quociente de F-Snedecors. Se X tem distribuição F(m,n) então
    --mX-∕n-- (m- n-) Y = 1 +mX ∕n ~ Beta 2 ,2



*Expandido e adaptado a partir das notas de aula de MAE5702 - Probabilidade e Inferência Estatística I

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